Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $3$ é a matriz quadrada $3 \times 3$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - λ I_{3})$

Etapa 1.3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.6

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.6.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.7

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.8

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.3

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.4

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.5

Some $- 3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.6

Some $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} | + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3

Avalie $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((3 - λ) (5 - λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Expanda $(3 - λ) (5 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (3 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ (5 - λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.1.2.1.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Subtraia $5 λ$ de $- 3 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 8 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 8 λ + λ^{2} - 4) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.2

Subtraia $4$ de $15$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 8 λ + λ^{2} + 11) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.3.2.3

Reordene $- 8 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Etapa 1.5.4

Avalie $| \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (2 \cdot 4 - (- 3 (3 - λ)))$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 3 (3 - λ)))$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 3 \cdot 3 - 3 (- λ)))$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 9 - 3 (- λ)))$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 9 + 3 λ))$

Etapa 1.5.4.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - - 9 - (3 λ))$

Etapa 1.5.4.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 + 9 - (3 λ))$

Etapa 1.5.4.2.1.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 + 9 - 3 λ)$

Etapa 1.5.4.2.2

Some $8$ e $9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (17 - 3 λ)$

Etapa 1.5.4.2.3

Reordene $17$ e $- 3 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1

Some $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11)$ e $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.2.1

Expanda $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 8 λ) + 3 \cdot 11 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.2.2.1

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 3 \cdot 11 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.2.2

Multiplique $3$ por $11$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.2.3

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.2.2.3.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.2.3.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.2.2.3.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.2.3.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.2.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.2.2.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.2.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.2.6

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} + 8 λ^{2} - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.2.7

Multiplique $11$ por $- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.3

Some $3 λ^{2}$ e $8 λ^{2}$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 11 λ - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.4

Subtraia $11 λ$ de $- 24 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} - 1 (- 3 λ + 17)$

Etapa 1.5.5.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} - 1 (- 3 λ) - 1 \cdot 17$

Etapa 1.5.5.2.6

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} + 3 λ - 1 \cdot 17$

Etapa 1.5.5.2.7

Multiplique $- 1$ por $17$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} + 3 λ - 17$

Etapa 1.5.5.3

Some $- 35 λ$ e $3 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 32 λ + 33 - λ^{3} - 17$

Etapa 1.5.5.4

Subtraia $17$ de $33$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} + 16$

Etapa 1.5.5.5

Mova $- 32 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - λ^{3} - 32 λ + 16$

Etapa 1.5.5.6

Reordene $11 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16 = 0$

Etapa 1.7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Fatore $- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 1.7.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Etapa 1.7.1.3

Substitua $4$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $4$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.3.1

Substitua $4$ no polinômio.

$- 4^{3} + 11 \cdot 4^{2} - 32 \cdot 4 + 16$

Etapa 1.7.1.3.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 64 + 11 \cdot 4^{2} - 32 \cdot 4 + 16$

Etapa 1.7.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$- 64 + 11 \cdot 4^{2} - 32 \cdot 4 + 16$

Etapa 1.7.1.3.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- 64 + 11 \cdot 16 - 32 \cdot 4 + 16$

Etapa 1.7.1.3.5

Multiplique $11$ por $16$ .

$- 64 + 176 - 32 \cdot 4 + 16$

Etapa 1.7.1.3.6

Some $- 64$ e $176$ .

$112 - 32 \cdot 4 + 16$

Etapa 1.7.1.3.7

Multiplique $- 32$ por $4$ .

$112 - 128 + 16$

Etapa 1.7.1.3.8

Subtraia $128$ de $112$ .

$- 16 + 16$

Etapa 1.7.1.3.9

Some $- 16$ e $16$ .

$0$

Etapa 1.7.1.4

Como $4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $λ - 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16}{λ - 4}$

Etapa 1.7.1.5

Divida $- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$ por $λ - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$λ$

$4$

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$32 λ$

$16$

Etapa 1.7.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- λ^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$

Etapa 1.7.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- λ^{3} + 4 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$

Etapa 1.7.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 λ^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$

Etapa 1.7.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$

Etapa 1.7.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 λ^{2} - 28 λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$

Etapa 1.7.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$

Etapa 1.7.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$

Etapa 1.7.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 λ$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$

Etapa 1.7.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$
							-	$4 λ$	+	$16$

Etapa 1.7.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 λ + 16$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$
							+	$4 λ$	-	$16$

Etapa 1.7.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$
							+	$4 λ$	-	$16$
										$0$

Etapa 1.7.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- λ^{2} + 7 λ - 4$

Etapa 1.7.1.6

Escreva $- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$ como um conjunto de fatores.

$(λ - 4) (- λ^{2} + 7 λ - 4) = 0$

Etapa 1.7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$λ - 4 = 0$

$- λ^{2} + 7 λ - 4 = 0$

Etapa 1.7.3

Defina $λ - 4$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Defina $λ - 4$ como igual a $0$ .

$λ - 4 = 0$

Etapa 1.7.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$λ = 4$

Etapa 1.7.4

Defina $- λ^{2} + 7 λ - 4$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Defina $- λ^{2} + 7 λ - 4$ como igual a $0$ .

$- λ^{2} + 7 λ - 4 = 0$

Etapa 1.7.4.2

Resolva $- λ^{2} + 7 λ - 4 = 0$ para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.7.4.2.2

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = 7$ e $c = - 4$ na fórmula quadrática e resolva $λ$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.7.4.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.3.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 4}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.7.4.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 4}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.7.4.2.3.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 16}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.7.4.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $49$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.7.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{- 2}$

Etapa 1.7.4.2.3.3

Simplifique $\frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{- 2}$ .

$λ = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{2}$

Etapa 1.7.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$λ = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}, \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$

Etapa 1.7.5

A solução final são todos os valores que tornam $(λ - 4) (- λ^{2} + 7 λ - 4) = 0$ verdadeiro.

$λ = 4, \frac{7 + \sqrt{33}}{2}, \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$

Etapa 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Etapa 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique $- 4$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.4

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.6

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.7

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.8

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.9

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 3 - 4 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Etapa 3.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Subtraia $4$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.2

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3

Some $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.4

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.5

Subtraia $4$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.6

Some $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.7

Some $- 3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.8

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - 4 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.9

Subtraia $4$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 & 4 & 1 \end{array}]$

Etapa 3.3

Find the null space when $λ = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - - 1 & - 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - - 1 & - 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.4.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ - z \\ z \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Etapa 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3

Multiplique $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.4

Multiplique $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.6

Multiplique $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.6.2

Multiplique $0$ por $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.7

Multiplique $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.8

Multiplique $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

Etapa 4.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.2

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 1 \cdot 7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4.4

Subtraia $7$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - (\sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 + \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.9

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.10

Some $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.11

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.12

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.15

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.15.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 1 \cdot 7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.15.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.15.4

Subtraia $7$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.16

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.17

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - (\sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.18

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1 + \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.20

Some $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.21

Some $- 3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.22

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.23

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.24

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2 - (7 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.26

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.26.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - (7 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.26.2

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 1 \cdot 7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.26.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.26.4

Subtraia $7$ de $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 4.3

Find the null space when $λ = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} (- \frac{1 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot - 1 & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} - 2 \cdot 0 & 1 - 2 (- \frac{1 - \sqrt{33}}{16}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} + 3 (- \frac{1 - \sqrt{33}}{16}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} (- \frac{1 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.4.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} - 4 \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} z = 0$

$y + \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} z = 0$

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{16} - \frac{z \sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21 z}{64} + \frac{5 \sqrt{33} z}{64} \\ z \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Etapa 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.2

Multiplique $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.3

Multiplique $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.4

Multiplique $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.6

Multiplique $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.6.2

Multiplique $0$ por $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.7

Multiplique $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.8

Multiplique $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

Etapa 5.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.2

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 1 \cdot 7 - - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 - - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.4.4

Multiplique $- - \sqrt{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 + 1 \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.4.4.2

Multiplique $\sqrt{33}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.4.5

Subtraia $7$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 - \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.9

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.10

Some $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.11

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.12

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.13

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.15

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.15.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 1 \cdot 7 - - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.15.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 - - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.15.4

Multiplique $- - \sqrt{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.15.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 + 1 \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.15.4.2

Multiplique $\sqrt{33}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.15.5

Subtraia $7$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.16

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.17

Fatore $- 1$ de $\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.18

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1 - \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.20

Some $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.21

Some $- 3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.22

Some $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.23

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.24

Combine $5$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2 - (7 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.26

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.26.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - (7 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.26.2

Aplique a propriedade distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 1 \cdot 7 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.26.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.26.4

Multiplique $- - \sqrt{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.26.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.26.4.2

Multiplique $\sqrt{33}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.26.5

Subtraia $7$ de $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Etapa 5.3

Find the null space when $λ = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} (- \frac{1 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot - 1 & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} - 2 \cdot 0 & 1 - 2 (- \frac{1 + \sqrt{33}}{16}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} + 3 (- \frac{1 + \sqrt{33}}{16}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} (- \frac{1 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.4.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} - 4 \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} z = 0$

$y + \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} z = 0$

$0 = 0$

Etapa 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{16} + \frac{z \sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21 z}{64} - \frac{5 \sqrt{33} z}{64} \\ z \end{array}]$

Etapa 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Etapa 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]}$